Bienvenidos a las Matemáticas de Academia M25. En este post hablaremos del MCM y MCD. Te recomendamos que si no has visto el post anterior lo mires antes de ponerte a ver este nuevo contenido:
¿QUÉ ES EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO?
El MCM es el menor número que es múltiplo de dos o más números. En otras palabras, es el menor número que puede ser dividido exactamente por esos números.
Por ejemplo, para determinar el MCM de 4 y 6:
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, …
El primer múltiplo común que encontramos en ambas listas es el 12. Por lo tanto, el MCM(4, 6) es 12.
Método para encontrar el MCM
1. Método de los factores primos: Este método consiste en descomponer cada número en sus factores primos y luego tomar los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes.
Por ejemplo, para encontrar el MCM de 12 y 15:
- Descomponemos 12: 2^2 . 3^1
- Descomponemos 15: 3^1 . 5^1
Ahora, tomamos todos los factores primos, tanto comunes como no comunes, con sus mayores exponentes:
MCM(12,15) =2^2 . 3^1 . 5^1= 60
2. Método de la división sucesiva: Este método implica dividir números sucesivamente por primos hasta llegar a 1.
Por ejemplo, para encontrar el MCM de 12 y 15:
2 ∣ 12, 15
∣ 6, 15 (15 no es divisible entre 2)
3 ∣ 6, 15
∣ 2, 5
5 ∣ 2, 5
∣ 1, 1
Tomamos todos los divisores y los multiplicamos entre sí:
MCM(12,15) =2^2 . 3^1 . 5^1= 60
3. Método del MCD: Como mencioné anteriormente, el MCM de dos números se puede determinar utilizando el Máximo Común Divisor (MCD) de los mismos:
MCM (a,b) =\frac {(a,b)} {MCD (a×b)}
Este método es especialmente útil cuando ya conoces el MCD de los números o si estás trabajando con números grandes, ya que el método de Euclides para calcular el MCD es muy eficiente.
4. Método del listado de múltiplos: Aunque no es el más eficiente, puedes simplemente listar los múltiplos de cada número hasta que encuentres un número que aparezca en ambas listas.
Por ejemplo, para 4 y 5:
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
El primer múltiplo común es 20. Así que, MCM(4,5) = 20.
Este método es práctico para números pequeños, pero puede ser muy laborioso para números grandes.
Estos son algunos de los métodos para encontrar el MCM. Dependiendo de la situación o el problema, uno puede ser más conveniente que otro.
¿QUÉ ES EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)?
El MCD es el mayor número que puede dividir a dos o más números sin dejar residuo. En otras palabras, es el mayor número que es divisor común de los números dados.
Por ejemplo, para determinar el MCD de 12 y 15:
Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15.
Los divisores comunes son: 1 y 3. Por lo tanto, el MCD (12, 15) es 3.
Método para encontrar el MCD
Una de las formas más eficientes de determinar el MCD de dos números es a través del algoritmo de Euclides. Aquí te muestro cómo funciona este algoritmo:
- Dividir el número mayor entre el menor.
- Tomar el residuo de esa división.
- Dividir el número menor entre ese resto.
- Continuar este proceso de dividir el divisor anterior entre el resto anterior hasta que el resto sea cero.
- El último divisor no nulo es el MCD.
Por ejemplo, para encontrar el MCD de 56 y 98:
- 98 ÷ 56 = 1 con resto 42.
- 56 ÷ 42 = 1 con resto 14.
- 42 ÷ 14 = 3 con resto 0.
Entonces, el MCD (56, 98) es 14.
EJERCICIOS DE MCM Y MCD
1. Realice el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de las siguientes agrupaciones de números:
a) 1, 3, 5 y 10
b) 12 y 15
c) 10, 100 y 1000
Solución en el vídeo superior
